1997'de Başbakanlık Uzman Yardımcısı olarak kamu görevine başlayan Tanrıkulu, 1998'den itibaren Maliye Bakanlığında Gelirler Kontrolörü, Gelir İdaresi Grup Başkanı, Vergi Başmüfettişi, Vergi Denetim Kurulu Başkan Yardımcısı görevlerinde bulundu.
Mesleki faaliyetleri kapsamında OECD ve AB Fiscalis çalışma gruplarında ülkeyi temsil eden Tanrıkulu, 2013 - 2015 yıllarında Avrupa Birliği Nezdinde Türkiye Daimi Temsilciliği (Brüksel) Maliye Müşaviri ve NATO Denetim Kurulu Üyesi olarak görev yaptı.
2015'de Cumhurbaşkanlığı DDK Üyeliğine atanan Tanrıkulu, 2017'den Ocak 2023'e kadar Olağanüstü Hal İşlemleri İnceleme Komisyonu Başkanlığı görevini yerine getirdi.
Kasım 2023'ten bu yana DDK Başkan Vekili olarak görev yapan Salih Tanrıkulu, İngilizce ve Fransızca biliyor.
Tanrıkulu, evli ve üç çocuk babası.