Matematik hayatımızın her yerinde ve dünya algımızın şekillendiren en önemli etmen. Matematikçi Ian Stewart, 2013 yılında bir kitap yazdı ve tarihin akışını değiştiren 17 matematiksel denklemi ele aldı. İşte o denklemler ve bilime katkıları;
Matematik hayatımızın her yerinde ve dünya algımızın şekillendiren en önemli etmen. Matematikçi Ian Stewart, 2013 yılında bir kitap yazdı ve tarihin akışını değiştiren 17 matematiksel denklemi ele aldı. İşte o denklemler ve bilime katkıları;
Bu denklem insanlığın uzambilgisinin temellerini atmıştır. Pisagor teoremine göre bir dik üçgende dik kenarın yani hipotenüsün bir kenarını oluşturduğu karenin alanı diğer iki dik kenarın birer kenar olarak oluşturdukları karelerin alanları toplamına eşittir. Bu ilişki, eğimli Öklitçi olmayan geometriyi normal ve düz olan Öklitçi geometriden ayrıştırmaktadır. Örneğin, bir kürenin yüzeyine çizilecek üçgen bu denklemden faydalanamaz.
Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a ile isimlendirildi fakat Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, Pisagor yaşamadan çok önce bilmekteydiler. Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.
Logaritma, üstel işlevlerin tersi olan bir matematiksel işlevdir. Örneğin 1000'in 10 tabanına göre logaritması 3'tür çünkü 1000, 10'un 3. kuvvetidir; 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 üssü 3. Logaritma, üstel işlevlerin tersinin hesaplanmasına duyulan ihtiyaç sonucu ortaya çıkmıştır. Örneğin 2'nin kübü 8'dir. Burada 3'ü ifade etmek için logaritmaya ihtiyaç vardır.
Logaritma 17. yüzyılın başında John Napier tarafından hesaplamaları kolaylaştırmak için oluşturuldu. Denizciler, bilim insanları, mühendisler ve daha hızlı hesap yapmak isteyen kişiler tarafından benimsenen logaritma, hesap cetvelleri ve logaritma tabloları aracılığıyla kullanılabiliyordu. Uzun zaman alan çok basamaklı çarpma işlemleri logaritmalar sayesinde kolayca yapılabiliyordu. Dijital teknolojinin gelişmesine kadar, çok haneli rakamlarla işlem yapmak için kullanılabilecek en uygun yöntem logaritmalardı.
Kalkülüs cebir, trigonometri ve analitik geometri konularının üzerine inşa edilmiştir. Kalkülüs matematiğin bir alt dalı olan matematiksel analizin giriş kısmıdır ve fonksiyon, limit, türev, integral, diziler, seriler vb. konuları içerir.
Kalkülüsün geçmişi genelde antik çağ, orta çağ ve modern çağ olmak üzere farklı evrelere ayrılır. Newton ve Leibniz modern anlamda türev denklemini birbirlerinden bağımsızca yazmışlardır ve Kalkülüs tarihinin en önemli isimlerindendirler.
Kalkülüs hareket ve değişken içeren her türlü modelde, yani yaşamın istisnasız her alanında kullanılır. Örneğin doğa bilimleri, bilgisayar bilimleri, istatistik, mühendislik, ekonomi, iş yaşamı ve tıp başta olmak üzere matematiksel modellemenin gerektiği ve en uygun çözüm testlerinin istendiği alanlarda kullanılmaktadır.
Isaac Newton gök cisimlerinin hareketleriyle ilgili yaptığı çalışmalar sonucu kütlelerin birbirine uyguladığı çekim kuvvetini keşfetmiştir. Bu yüzden; bu kanuna Newton'ın evrensel kütle çekimi yasası adı verilmiştir.
Kütle çekimi, nesnelerin birbirlerine doğru çekme kuvveti uygulamasına denir. Newton'ın evrensel kütle çekimi yasasının mekanizması; bir nokta kütle (m1) diğer bir nokta kütleyi (m2) iki kütlenin çarpımı ile doğru, aralarındaki (r) uzaklığının karesi ile ters orantılı olacak büyüklükteki bir F2 kuvveti ile çeker. Kütlelerden ve bu kütlelerin aralarındaki uzaklıktan bağımsız olarak |F1| ve |F2| kuvvetlerinin büyüklükleri her zaman birbirine eşittir ve G kütle çekimi sabitidir.
Doğal sayılardan negatif sayılara, kesirli sayılardan reel sayılara, matematikçiler hangi sayıların gerçekten olduğu fikrini sürekli ileri taşımaktalar. -1'in kare kökü i ile ifade edilen -1'in kare kökü karmaşık sayıları ortaya çıkararak gerçek sayı kavramını bir üst boyuta taşımaktadır.
Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Matematikte bu sayıların uzayı olarak C gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığının complex olmasıdır. Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar. Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışılageldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizilir.
Her bir çokyüzlü için K (köşe sayısı) + Y (yüz sayısı) − A (ayrıt-kenar sayısı) sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Euler'in bu formülü tüm konveks (dışbükey) çokyüzlüler için geçerlidir.
Euler formülü'nde x yerine değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell Sayıları'nı veren üreteç fonksiyonuna da kompleks değişkenler verilerek trigonometrik analog bulunabilir.
Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.
Bir olasılık dağılımını çeşitli şekilde matematiksel ifadelerle karakterize etmek mümkündür. Bunlar arasında göze en iyi hitap edeni olasılık yoğunluk fonksiyonu ile olur. Dağılımın özellikleri ayrıca birikimli dağılım fonksiyonu, momentler, kümülantlar, karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon, kümülant üreten fonksiyon ve Maxwell'in teoremi vasıtasıyla da belirtilebilir.
Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Elektromanyetik dalga denklemi, elektromanyetik dalgaların ortam boyunca ya da bir vakum ortamı içerisinde yayılmasını açıklar. Akustik dalga denklemi ise, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler.
Fourier Dönüşümü, insan konuşması gibi çok daha karmaşık olan dalga yapılarının anlaşılması için temel bir denklemdir. Fonksiyonları başka fonksiyonlara çeviren dönüşüm sistemidir. Temeli her integrallenebilir fonksiyonun çeşitli genlikte ve frekansta sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplamı şeklinde yazılabilmesine dayanır.
Fourier açılımı sayesinde fonksiyonların frekansı kolaylıkla belirlenebilir. Bu yaklaşım farklı periyotlarda girdiye maruz kalan sistemlerin çıktısını ve çıktısının frekansını belirlemekte kolaylık sağlar. Fourier Dönüşümü, günümüzde modern sinyal işleme, analiz ve veri sıkıştırmanın temelini oluşturmaktadır.
Navier-Stokes Denklemleri sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır. Bu denklemler akışkan içerisindeki birim kütleye etki eden momentum değişimlerinin, basınç değişimleri ve sürtünme kayıplarına neden olan viskoz kuvvetlerin toplamına eşit olduğunun doğruluğunu ortaya koymaktadır. Bu viskoz kuvvetler moleküller arası etkileşimlerden meydana gelmekte ve akışkanın akmaya ne kadar dirençli olduğunu göstermektedir. Böylece, Navier-Stokes denklemlerinin, verilen akışkanın herhangi bir bölgesindeki kuvvetler dengesinin dinamik ifadesi olduğu söylenebilir.
Gerek akademik gerekse ekonomik birçok fenomenin fiziği Navier-Stokes Denklemleri ile açıklamaktadır. Hava akımları ve okyanus akıntılarının, boru içindeki su akışının, galaksideki yıldız hareketlerinin, kanat etrafındaki hava akımlarının modellenmesinde ve hesaplarında sıkça kullanılırlar.
Maxwell denklemleri Lorentz kuvveti yasası ile birlikte klasik elektrodinamik, klasik optik ve elektrik devrelerine kaynak oluşturan bir dizi kısmi türevli (diferansiyel) denklemlerden oluşur. Bu alanlar modern elektrik ve haberleşme teknolojilerinin temelini oluşturmaktadır. Maxwell denklemleri elektrik ve manyetik alanların birbirilerini, yükler ve akımlar tarafından nasıl değiştirildiği ve üretildiğini açıklamaktadır. Bu denklemler, İskoç fizikçi ve matematikçi olan ve bu denklemlerin ilk biçimini yayınlayan James Clerk Maxwell’ in ismi ile adlandırılmıştır.
Maxwell eşitliğinin kesinliği içerdiği büyüklüklerin ne kadar kesin tanımlandığına bağlıdır. Kurallar birim sistemine göre değişir, çünkü ışık hızı gibi boyutsuz çarpanlar tarafından emilerek çeşitli tanımları ve boyutları değişebilmektedir.
Termodinamiğin ikinci yasası veya ısıldevinimin ikinci yasası, izole sistemlerin entropisinin asla azalmayacağını belirtir. Bunun sebebini izole sistemlerin termodinamik dengeden spontane olarak oluşmasıyla açıklar. Buna benzer olarak sürekli çalışan makinelerin ikinci kanunu imkansızdır.
İkinci yasa ünlü bir sıcaklık ölçeğine izin verir. Bu ölçek özel ve bağımsız bir ısıbilgisi sistemin özelliklerini tanımlar. İkinci yasa farklı birçok şekilde açıklanabilir ama ilk formulasyon 1824 yılında Fransız bilim adamı Sadı Carnot tarafından yazılmıştır. Ikinci yasanın ilk ifadeleri yalnızca yatay düzlemde (yerçekimisiz alanda) doğrudur. Ikinci yasa, iç enerji U’ya eşit olarak kapsamlı özelliklerin fonksiyonu olarak da yazilabilir.
Genel görelilik ya da göreliliğin genel kuramı, 1916 yılında Albert Einstein tarafından yayımlanan kütleçekimin geometrik kuramıdır. Günümüzde modern fizikte kütle çekimi tanımladığı düşünülen kuramdır. Genel görelilik, özel görelilik ve Newton'ın evrensel kütleçekim yasasını genelleştirerek kütleçekimin uzay ve zaman ya da uzayzamanda tanımlanmasını sağlar.
Einstein'in teorisinin astrofiziğe kayda değer etkileri vardır. Örneğin, büyük bir yıldızın ömrünün sonuna yaklaştığı bir zamanda içine çökerek karadelik oluşturduğuna işaret eder. Bazı astronomik cisimlerin yaydığı yoğun radyasyona karadeliklerin sebep olduğuna dair yeterli kanıt mevcuttur. Genel görelilik aynı zamanda, bugüne kadar ancak dolaylı olarak gözlenmiş olan, kütle çekim dalgalarının da varlığını öngörür.
Genel göreliliğin bugüne kadarki tüm önermeleri deney ve gözlem ile doğrulandı. Her ne kadar genel görelilik kütleçekimin tek göreli kuramı olmasa da, deneysel veri ile uyum sağlayan en basit teoridir. Buna rağmen, teorinin hala cevaplayamadığı sorular varlığını sürdürmektedir. Bunlara örnek olarak pioneer uydusunun hareketi, galaksilerin dönüş eğrisi, genel görelilik ile kuantum mekaniği yasalarının hangi şekilde bağdaştırılarak, tamamlanmış ve kendi içinde tutarlı bir kuantum alan kuramı yaratılabileceğidir.
Schrödinger denklemi, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck'ın ortaya attığı 'kuantum varsayımları'nın ardından, 1924 de ortaya atılan de Broglie varsayımı ve 1927'de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekanik kuramını ortaya çıkarmıştır.
Bilgi kuramı, Claude E. Shannon tarafından güvenli şekilde veri sıkıştırma, depolama ve iletme gibi sinyal işleme işlemlerinin kısıtlarını bulmak için geliştirilmiştir.
Bilginin önemli bir ölçütü, genellikle depolama ve iletişim için gerekli olan parçaların ortalama sayısı olan entropidir. Entropi, bir rastgele değişkenin değerini tahmin ederken belirsizliği nicelikselleştirir. Örneğin, bir yazı tura oyununun sonuç için sağladığı bilgi, bir zar atma oyununun sonuç için sağladığı bilgiden daha azdır. Yazı tura oyununda eşit olasılıklı iki sonuç vardır, zar atma oyununda ise eşit olasılıklı altı sonuç. Bu nedenle yazı tura oyunu daha düşük entropiye sahiptir.
Bilgi kuramının temel uygulamalarına örnek olarak kayıpsız veri sıkıştırma (ZIP dosyaları), kayıplı veri sıkıştırma (MP3 dosyaları) veya kanal kodlama (DSL bağlantıları) gösterilebilir. Bilgi kuramının alanı matematik, istatistik, bilgisayar bilimi, fizik, nörobiyoloji ve elektrik mühendisliği ile kesişir. Voyager derin uzay görevleri, kompakt diskin geliştirilmesi, cep telefonlarının yapılabilirliği, internetin geliştirilmesi, dilbilim araştırmaları gibi pek çok konuda başarının üzerinde büyük etkisi olmuştur. Bilgi kuramının önemli alt dalları; kaynak kodlaması, kanal kodlaması, algoritmik karmaşıklık kuramı, algoritmik bilgi kuramı gibi alanlardır.
Kaos kuramı, kaos teorisi veya kargaşa kuramı; yapısal olarak bir fizik teorisi ya da matematiksel bir tümevarım değil, fiziksel gerçeklik parçalarının bir bütün olarak eğilimini açıklamaya yarayan bir yöntemdir.
Bir sigara dumanının havada yaptığı şekiller tamamen düzensiz ve bağımsız rastlantıların ürünü olarak görülebilir. Ancak bir teorik fizikçi dumanın bu dinamiğinin aslında ortamdaki birçok parametre ve etken ile belirlendiği görüşündedir. Bu girdiler o kadar çoktur ve o kadar değişkendir ki incelemek ve net bir kanıya varmak imkânsızdır. Parametrelerin bu denli değişken olması aslında o parametrelerin de bir çıktı olmasından kaynaklanır. Dumanın hareketine neden olan hafif bir hava akımı aslında odanın başka yerindeki bir sıcaklık değişikliği ve basınç farkının neden olduğu bir harekettir. Ayrıca dumanın dinamiğini etkileyen girdiler birbirlerine bağlı olabilirler ki bu durumu tam anlamıyla içinden çıkılmaz hale sokar.
Teoriye temel oluşturan matematiksel ve temel bilimsel bulgular 18.yüzyıla, hatta bazı gözlemler antik çağlara kadar geri gitmektedir. Yunan ve Çin mitolojilerinde yaradılış efsanelerinde başlangıçta bir kaosun olması rastlantı değildir. Özellikle Çin mitolojisindeki kaosun, bugün bilimsel dilde tanımladığımız olgularla hayret verici bir benzerliği olduğu görülür. Batı'da da daha sonraki dönemlerde bilim adamları tarafından karmaşık olgulara dair gözlemler yapılmıştır. Poincare, Weierstrass, von Koch, Cantor, Peano, Hausdorff, Besikoviç gibi çok üst düzey matematikçiler tarafından bu teorinin temel kavramları bulunmuştur.
Black Scholes Eşitliği, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede ilk defa bahsedilen opsiyon fiyatlama tekniğidir. O zamana kadar yapılan en iyi modellemedir ve halen kullanılmaktadır.
Bu model rassal hareketler izleyen sıvı moleküllerini ortaya koyan Brownian Motion'ın hisse fiyatlarına ve finansal hareketlere uyarlanması sonucu ortaya çıkmıştır. Robert C. Merton'un modelde çözülemeyen bir bölümü çözmesinden sonra, bu model Black-Scholes-Merton Modeli olarak anılmaya başlamıştır.