Matematiğin Hayatımızın Her Alanında Olduğunun Kanıtı Olan Fibonacci Dizisi Nedir?

15.02.2023 - 07:52

28.02.2023 - 13:24

Kaynak: https://science.howstuffworks.com/math-c...

'Evrenin sihirli bir denklemi var mıdır' derseniz cevap muhtemelen hayır olur. Ancak doğal dünyada defalarca kez denk geldiklerimiz var. Fibonacci dizisi gibi... Bu, her sayının (Fibonacci sayısı) önceki iki sayının toplamı olduğu, sürekli artan bir sayılar dizisidir.

Fibonacci dizisi doğada da, doğadaki çeşitli kalıpları/şekilleri yansıtan ve onlara karşılık gelen bir oran olarak çalışır. Bir deniz kabuğunun neredeyse mükemmel sarmalı ve bir kasırganın korkutucu girdabı bu durumun yalnızca birkaç örneği. Peki doğada bu diziyi neden ve nerelerde bu kadar sık görüyoruz? Detaylara geçelim...👇

Fibonacci dizisi binlerce yıldır biliniyor. Bu ilginç dizi etrafındaki matematiksel fikirler, MÖ 600 ila 800 arasındaki eski Sanskritçe metinlere kadar uzanıyor.

1202'de İtalyan matematikçi Leonardo Pisano ('Bonacci'nin oğlu' anlamına gelen Leonardo Fibonacci olarak da bilinir), tek bir ebeveyn grubunun kaç tavşan üretebileceğini merak etti. Bu düşünce deneyi, dişi tavşanların her zaman çift doğurduğunu ve her çiftin bir erkek ve bir dişi içerdiğini belirtir.

Yeni doğmuş iki tavşan, tavşanların üremeye başladıkları kapalı bir alana yerleştirilir. Tavşanlar en az 1 aylık olana kadar yavru doğuramazlar, bu nedenle ilk ay sadece bir çift kalır. İkinci ayın sonunda dişi, toplamda iki çift bırakarak yeni bir çift doğurur.

Üçüncü ay geldiğinde, en baştaki tavşan çiftinin başka bir çift yavrusu doğar ve daha önceki yavruları yetişkinliğe ulaşır. Bu üç çift tavşandan ikisi, sonraki ay toplam beş çift tavşan olmak üzere iki çift daha doğurur.

Peki bir yıl sonra kaç tane tavşan olur? İşte o zaman matematiksel denklem devreye girer. Karmaşık görünse de aslında oldukça basit.

İlk Fibonacci sayıları şu şekilde gider:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ve sonsuza kadar.

Bunu tanımlayan matematiksel denklem ise şöyle görünür:

Xn+2 = Xn+1 + Xn

Temel olarak, her tam sayı, önceki iki sayının toplamıdır. (Kavramı negatif tam sayılara uygulayabilirsiniz, ancak biz yalnızca pozitif tam sayıları ele alacağız.)

2'yi bulmak için önündeki iki sayıyı toplayalım (1+1)

3 elde etmek için önündeki iki sayıyı toplayalım (1+2)

Bu sonsuz toplamlar kümesi, Fibonacci dizisi olarak bilinir. Fibonacci dizisindeki sayılar arasındaki oran sıklıkla altın oran olarak adlandırılır. Ardışık Fibonacci sayılarının oranları, sayılar sonsuza yaklaştıkça altın orana yaklaşır.

Bu büyüleyici sayıların doğada nasıl ifade edildiğini görmek isterseniz tek yapmanız gereken etrafınıza bakmak :)

Bazı bitki tohumları, yaprakları, dalları vb. Fibonacci dizisini izlese de, bu kesinlikle her şeyin doğal dünyada nasıl büyüdüğünü ve neye göre şekillendiğini göstermez.

Aynı zamanda bir dizi sayının şaşırtıcı çeşitlilikteki nesnelere uygulanabilmesi, rakamlarla gerçeklik arasında herhangi bir korelasyon olduğu anlamına da gelmez. Bazen bir tesadüf sadece bir tesadüftür.

Ancak bazıları, doğadaki ardışık Fibonacci sayılarının yaygınlığının abartılı olduğunu iddia etse de, bunu kanıtlayacak birçok doğa örneği var. Bunları, çeşitli bitkilerin büyüme şeklini inceleyerek yaygın olarak tespit edebilirsiniz. İşte birkaç örnek:

Bir ayçiçeğinin ortasındaki tohum dizisine baktığınızda altın sarmal bir desen gibi göründüklerini fark edeceksiniz.

onedio.com

Şaşırtıcı bir şekilde, bu spiralleri sayarsanız, toplamı bir Fibonacci sayısı olacaktır. Spiralleri sola ve sağa işaret edenlere bölün; bu sayede iki ardışık Fibonacci sayısı elde edeceksiniz.

(Fibonacci dizisini kullanarak çam kozalakları, ananaslar ve karnabahardaki sarmal desenleri de çözebilirsiniz.) (Knott)

Bazı bitkiler, büyüme noktalarında Fibonacci dizisini yansıtır.

Bir gövde, iki büyüme noktası meydana getiren bir dal oluşturana kadar büyür. Ana gövde daha sonra başka bir dal üreterek üç büyüme noktası oluşturur. Ardından gövde ve ilk dal iki büyüme noktası daha oluşturarak bu sayıyı beşe çıkarır. Bu model Fibonacci sayılarını takip ederek devam eder.

Bir çiçeğin taç yapraklarının sayısını sayarsanız da genellikle toplamın Fibonacci dizisindeki sayılardan biri olduğunu görürsünüz. Örneğin, zambaklar ve süsenlerin üç, düğün çiçeklerinin ve yabani güllerin beş, hezaren çiçeklerinin sekiz yaprağı vardır vb.

Bir bal arısı kolonisi, bir kraliçe, birkaç erkek arı ve çok sayıda işçi arıdan oluşur.

Dişi arıların iki ebeveyni vardır: erkek arı ve kraliçe. Erkek arılar ise döllenmemiş yumurtalardan çıkar. Bu, yalnızca bir ebeveyne sahip oldukları anlamına gelir.

Bu nedenle, Fibonacci sayıları, bir ebeveynin, iki büyük ebeveynin, üç büyük büyük ebeveynin ve benzerlerinin olması bakımından bir erkek arının soyağacını ifade eder. (Knott)

Kasırgalar ve tornadolar gibi fırtınalar genellikle Fibonacci dizisini takip eder.

Bir dahaki sefere yabancı kanallardaki hava durumu haberlerinde dönen bir kasırga gördüğünüzde, ekrandaki bulutların içindeki hatasız Fibonacci sarmalına bakın deriz.

Aynada kendinize dikkatlice baktığınızda da vücudunuzun çoğu bölümünün bir, iki, üç ve beş numaralarını takip ettiğini fark edeceksiniz.

Bir burnunuz, iki gözünüz, her bir uzvunuzda üç kısım ve her elinizde beş parmağınız var. İnsan vücudunun orantıları ve ölçüleri de altın orana göre bölünebilir.

DNA molekülleri, çift sarmalın her bir tam döngüsü için 34 angstrom (santimetrenin yüz milyonda biri) uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğinde bu diziyi takip eder.

Peki neden bu kadar çok doğal örnek, Fibonacci dizisini yansıtıyor?

Bilim insanları yüzyıllardır bu soruyu düşünüyorlar. Bazı durumlarda, korelasyon/oran sadece tesadüf olabilirken diğer durumlarda bu oran, söz konusu büyüme modeli en etkili biçimde geliştiği için mevcuttur.

Bitkilerde bu, ışığa aç yapraklar için maksimum maruz kalma veya maksimum tohum düzeni anlamına gelebilir.

Uzmanlar, Fibonacci dizisinin doğada yaygın olduğu konusunda hemfikir olsa da, Fibonacci dizisinin belirli sanat ve mimari örneklerinde ifade edilip edilmediği konusundaki fikir birliği daha az.

Bazı kitaplar Büyük Piramit ve Parthenon'un (Leonardo da Vinci'nin bazı tablolarının yanı sıra) altın oran kullanılarak tasarlandığını söylese de, bu test edildiğinde yanlış olduğu ortaya çıkıyor (Markowsky).

Matematikçi George Markowsky, hem Parthenon'un hem de Büyük Piramidin altın orana uymayan kısımları olduğuna dikkat çekiyor; bu, Fibonacci sayılarının her şeyde var olduğunu kanıtlamaya kararlı insanlar tarafından hesaba katılmayan bir gerçek.

Bunun sebebi bir karışıklık aslında. Çünkü 'altın oran' terimi (the golden mean olan), eski zamanlarda her iki yöne de erişimi engelleyen bir şeyi belirtmek için kullanılıyordu ve bazı insanlar bu terimi, 19. yüzyılda ortaya çıkan daha yeni bir terim olan 'altın oranla' birleştirdiler. (Ya da karıştırdılar dersek daha doğru olur :))