Lisans ve yüksek lisans eğitiminin ardından Dışişleri Bakanlığı Doğu Avrupa ve Asya ile İkili Siyasi İşler Dairesi'nde aday meslek memuru olarak çalışmaya başladı. Burada pek çok görevde bulunan Karagöz, 1998-2000 yılları arasında Cumhurbaşkanı Süleyman Demirel döneminde Cumhurbaşkanlığı Dışişleri Başdanışmanlığı'nda 2. katip ve başkatip olarak görev yaptı.
Murat Karagöz, 2000'den 2004 yılına kadar BM New York Daimi Temsiliği'nde başkatip ve müsteşar olarak çalışmaya başladı. 2004 yılından 2006'ya kadar Dışişleri Bakanlığı Müsteşarı Ali Tuygan'ın Özel Müşavirliği'nde daire başkanı ve özel müşavir oldu. 2006'dan 2009 yılına kadar Vaşington Büyükelçiliği müsteşarı ve 1. müsteşarı olarak görevini yürüttü. 2009-2013 yıllarında Balkanlar ve Orta Avrupa Genel Müdür yardımcısı oldu.
2013 ve 2016 yılları arasında Ulan Bator Büyükelçisi olarak çalıştı. 2016'dan 2019 yılına kadar Amman Büyükelçisi olarak görev aldı. 2020 yılında Dışişleri Bakanlığı Enformasyon Genel Müdürü oldu.
Murat Karagöz, 22 Şubat 2023 tarihinde Cumhurbaşkanı Recep Tayyip Erdoğan'ın kararıyla Portekiz Büyükelçisi olarak göreve başladı.