Sarp Apak, 11 Kasım 1981 tarihinde Diyarbakır'da dünyaya geldi. Beş yaşına kadar Diyarbakır'da yaşamış olan Apak, daha sonra ailesiyle birlikte Bursa'ya taşınmış ve bu şehirde büyümüştür. Lise eğitimini Bursa Erkek Lisesi'nde aldı.
O sıralar işletme eğitimi almayı planlayan oyuncunun tiyatro hayatı, yetenek sınavlarına başvuru formu almasıyla başladı. Dokuz Eylül Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Oyunculuk Bölümü’nü 2004 yılında bitirdikten sonra, okuldan hocası Barış Erdenk’in desteğiyle İstanbul'a gitti.
Sadri Alışık Tiyatrosu'nda sergilenen Ağır Roman adlı eserde başarılı bir oyunculuk çıkarttı. O senenin sonunda Yılmaz Erdoğan’ın da yer aldığı BKM Grubu'na dahil oldu ve Organize İşler adlı filmde küçük bir rolde oynama fırsatı buldu. Anadolu Kaplanı, En Son Babalar Duyar dizilerinde ve Doğtaş reklamlarında da rol aldı. Sizinkiler Dünya Kaç Bucak adlı çocuk oyununda oynadı ve bu oyunla Türkiye turnesine çıktı.