Özcan Arkoç 1939 yılında Tekirdağ'ın Hayrabolu ilçesinde dünyaya geldi.Futbola 13 yaşında Alpullu Şekerspor'da başlayan Arkoç, 1954 yılında Vefa Spor Kulübü'ne geçti. Özcan Arkoç burada 17 yaşında forma giyerek ligin en genç oyuncusu oldu.
1956-57 sezonunda da takımı başarılı olmasa da Merkez Hakem Komitesi'nce ligin en centilmen futbolculardan biri olarak seçildi. Milliyet Gazetesi'nin düzenlediği 'Yılın En İyi Sporcusu' oylamasında 3. oldu. Özcan Arkoç, öğrencilik yıllarında da Sultanahmet Sanat Okulu'nun kalesini korumuş ve bir keresinde ise eski Beylerbeyi, Beşiktaş ve Fenerbahçeli Birol Pekel'in de oynadığı Beyoğlu Ticaret Lisesi'ne karşı da forma giymiştir.
1958'de Fenerbahçe'ye transfer oldu. 1958-59'da İstanbul Profesyonel Ligi'nin namağlup şampiyonu olurken Fenerbahçe 18 maçta sadece 7 gol yiyerek en az gol yiyen takım oldu. Türkiye Ligi'nin ilk sezonu olan 1959 yılında ilk şampiyon olan takımda yer aldı. Galatasaray ile oynanan final maçlarında Fenerbahçe'nin kalesini korudu. İlk maçı Galatasaray 1-0 kazanırken, Arkoç, Metin Oktay'ın ünlü 'ağları delen golü'nü yedi. İkinci maçta ise rakiplerini 4-0 yendiler.
Fenerbahçe 16 maçta 8 gol yiyerek yine en az gol yiyen takım oldu. 59-60 sezonunda ise lig ikincisi oldular. Fenerbahçe'nin ilk Avrupa deneyimi olan Şampiyon Kulüpler Kupası eleme turunda Macar takımı Csepel SC'yi elemiş, ilk turda ise Fransa şampiyonu Nice'i zorlayıp, üçüncü maçta elenmişlerdi. 60-61 sezonunda Fenerbahçe ve Arkoç ikinci şampiyonluğa erişti. 1961-62 sezonu sırasında askerliğini yapan Arkoç, takımda fazla yer bulamadı ve üçüncü kaleci konumuna düştü. Fenerbahçe ise ligi 2. bitirdi. Sezon sonu Fenerbahçe ile parada anlaşamayıp serbest kaldı.